有趣的数学，趣味究竟藏在哪里？

编者按

撰文 | 袁亚湘

让我们回到数学的又一个关键词——有趣。

著名数学家陈省身曾说过：“数学好玩，玩好数学”。微分几何中有“高斯-博内-陈公式”、“陈示性类”、“陈-西蒙理论”等，由此可见他在微分几何学中的大师级地位。那么，数学究竟有哪些好玩之处呢？

陈省身（1911-2004）

首先，数本身就很好玩。在小学，小朋友们在认识数之后很快就会了解到很多有趣的数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。等差数列和等比数列的每项计算和若干项求和都有简单的公式。斐波那契数列 {1，1，2，3，5，8，13，21，……} 是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖的数目增长规律时发现的。

他在1202年出版的《算书》中提出了如下问题：假定每对兔子在出生两个月以后的每个月都会生出一对新的兔子，请问从一对兔子开始，一年后共有多少对兔子？研究每个月的兔子数目就可导出斐波那契数列，该数列的第1、第2项都是1，数列中的其它项都是该项之前的两项数字之和。斐波那契数列有很多有趣的性质，其中之一是它前后相邻两项的比值逐渐近似于黄金分割比例。《算书》把印度-阿拉伯计数法引进了欧洲，书中还包括了不少贸易和货币兑换的相关内容。

斐波那契（1170-1250）

若干个数以特定的方式排列可以组成一个方阵。我国在远古时代就有了著名的河图洛书。洛书是把1到9排成一个3乘3的方阵，横的每行、竖的每列三个数加起来都是15，而且每条对角线的三个数加起来也是15。类似地，我们可以用1到16排成一个四阶的方阵，使每条线上加起来都是34。

在乘法法则中，关于倍数和约数也有许多有趣的现象。例如：如果一个数是3的倍数，那么它的各位数之和也会是3的倍数；一个数是9的倍数，它的各位数之和也是9的倍数。

有些乘法还有速算方式，比如：一个数加1乘以这个数减1等于该数的平方减去1；个位是5的两位数的平方就是把其十位上的数字乘以它自己加1，再在后面补上25即可得到答案，譬如45的平方是2025、75的平方是5625。

只用到简单的加减乘除四则运算，我们就可以得到一些有趣的数字谜题。举个例子：任给一个正整数，如果是奇数就乘3加1，如果是偶数就除以2，一直做下去，这个数最终一定会变成1。如果从7开始，我们就会得到22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。这个有趣的问题通常被称为“3X+1猜想”，该猜想在西方有很多不同的名字，其中之一是科拉兹猜想，而在东方它常常被称为角谷猜想。这是因为有人认为德国数学家科拉兹是最早研究这个问题的科学家，而日本数学家角谷是把该问题带到东方的学者。这个猜想虽然至今还没有被证明，但大家普遍认为其结论是正确的。

科拉兹（1910-1990）与角谷静夫（1911-2004）

还有一些数自身具有特殊的性质。一个数，如果它是三个边长都为有理数的直角三角形的面积，我们就称其为“同余数”。从下图可以看出5，6，7是同余数，而费马最早证明1，2，3不是同余数。

如果一个数等于除了它自身之外所有的约数之和，我们就它称为“完全数”。6就是个完全数，除了它自身，6的约数有1、2和3，且 6=1+2+3。同样地，28=1+2+4+7+14也是一个完全数。不难验证，496，8126，33550336也都是完全数。

与完全数相关的概念是“亲和数”。给定两个数A和B，如果A除了本身之外的所有约数之和等于B，并且反过来B除了本身之外的所有约数之和等于A，我们就称A和B是一对亲和数。例如：220除了本身之外的约数是1、2、4、5、11、20、22、44、55、110，它们之和是284，而284除了自身之外的约数是1、2、4、71、142，它们加和恰好是220。因此220和284是一对亲和数，它们最早由毕达哥拉斯发现。之后，费马发现了亲和数17298和18416，笛卡尔发现了亲和数9363584和9437056。其它已知的亲和数还有：1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6368……借助计算机，目前科学家已经找到了数千对亲和数。

上述完全数和亲和数都是针对于合数，而素数本身就有许多奇妙的规律。如果一个大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他约数，我们就称这个数是素数，也称为质数。最小的十个素数依次是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。欧几里得在《几何原本》中就素数做了一些讨论，并给出了“有无限多个素数”的论断。这个结论很容易证明。假定素数只有有限多个：2，3，5，...，p，其中p是最大的素数。我们把所有的素数乘起来再加1，即定义N=2×3×5×...×p+1。显然N的约数只有1和N本身，故知N(>p)也是一个素数，这与p是最大的素数相矛盾，假设不成立！因此素数一定有无限多个。

关于素数有许多神奇而有趣的现象，前面提到的哥德巴赫猜想就和素数相关。关于素数的另一个著名的猜想是孪生素数猜想，该猜想认为：存在无穷多对孪生素数对。这一猜想是1949年由法国数学家波利尼亚克提出的。孪生素数对指的是挨在一起（相差为2）的两个素数，例如3和5、5和7、11和13、17和19都是孪生素数对。数学家发现，当数字越大时，素数就越稀少，想要找到孪生素数对就越困难。但孪生素数猜想却认为存在无穷多组孪生素数对，也就是说，给定一个任意大的有限数，总能找到比它更大的孪生素数对。仔细想想，这个猜想颇有点玄幻的味道。遗憾的是，这个猜想至今还未被完全证明。

波利尼亚克（1826-1863）和一些孪生素数对，你能证明/证伪这个猜想么？

2013年，华人数学家张益唐在孪生素数猜想问题上取得了历史性的突破。他证明了存在无穷多个素数对，其中每对素数之差小于7000万。继而经过诸多数学家的努力，7000万这个差值界已经降到了200多。而孪生素数猜想中素数对的差值是2。

张益唐（1955-）

“数学是科学的皇后”，大多数人都知道这句德国数学家高斯的名言。其实这句话的后面还有一句：“数论是皇后的皇冠”。高斯被称为数学王子，他本人在数学，包括数论的许多方面做出了卓然的贡献，他还证明了代数基本定理，是非欧几何的发明人之一。数学中许多定理和方法以他命名，如高斯最小二乘法、高斯-博内定理、高斯正态分布、高斯积分公式、高斯二项式定理等等。

多元一次方程的消元解法在我国古书《九章算术》中就早有记载，在西方也被称为高斯消去法。高斯出生于贫苦人家，小时候家境不好。他父亲是个烧砖工人，不让高斯上学，希望高斯长大后继续烧砖的工作。在舅舅的劝说和母亲的坚持下，高斯直到7岁才开始上学。一上学高斯就展露了他的数学天赋。一个广为人知的故事是高斯9岁就自己推导出了特殊等差数列的求和公式1+2+...+N=(N+1)N/2。大学时，高斯给出了正十七边形的尺规作图法，24岁即出版了学术专著《算术研究》。该书至今仍是数论方面最重要的著作之一。高斯从30岁开始担任哥廷根大学的教授和天文台台长，直到他去世。

前西德货币上的高斯（1777-1855）

数学中有一些出名的常数，它们的性质和特点也十分神奇。前面我们已经详细地介绍了圆周率和黄金分割比例。这里还想介绍自然对数的底数，也即著名的欧拉常数：

另一个与欧拉相关的常数是欧拉-马歇罗尼常数γ ：

还有一个特别的常数是拉马努金常数，该常数利用三个无理数e、π和163开平方所生成，但它竟然与一个整数之间的误差小于10！

印度传奇数学家拉马努金具有极高数学天赋和直觉，他发现了许多神奇的、出人意料的数学公式和定理。关于他本人也有许多有意思的小故事。其中一个故事讲到拉马努金病重，哈代前往探望。哈代对他说：“我坐出租车来，车牌号码是1729，这个数真无趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金回答道：“不，恰恰相反，这是个非常有趣的数。它能表示为两种两个正整数的立方和（1729 = 1+12= 9+10）。在所有满足这种条件的数中，1729是最小的。”

拉马努金（1887-1920）与哈代（1877-1947）

数学中还有很多有趣的定理和公式。比如数学分析中有不同形式的中值定理以及格林公式、斯托克斯公式等等。以斯托克斯公式为例，它描述的是一个集合内的积分可以转换为该集合边界上的积分。斯托克斯是英国数学家、物理学家，他在流体力学的数学理论方面做出了奠基性的工作。数学千禧年七大难题之一是关于NS方程的解的问题。其中的NS方程就是以他和法国数学家纳维命名的。

斯托克斯（1819-1903）

在复变函数中，一个有趣的结论是解析函数两点之间沿着不同路径的曲线积分都相等，这是著名的柯西定理。柯西是法国数学家和物理学家，他提出了极限的定义方法、为微积分的严格化做出了至关重要的贡献，数学中许多结果以他的名字命名，如柯西不等式、柯西公式、柯西留数定理等。当前人工智能、机器学习中广泛使用的梯度方法也是由柯西提出的最速下降方法发展而来的。

柯西（1789-1857）

数学中很多变换也相当有意思，通过这些变换我们可以把一个函数变成看似与它自身迥异的函数。比较出名的变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等。不过可不要小瞧这些变换，它们在其他科学与工程领域往往起着关键性的作用。例如：傅里叶变换在信号处理、图像处理等方面有广泛应用。在数学上，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理。从物理的角度理解，傅里叶变换的本质是将信号或图像从时间/空间域转换到频率域，其逆变换是从频域转换到时间/空间域。傅里叶是法国数学家、物理学家，他在热传导方面给出了最基本的数学理论，推动了微分方程边值问题的研究。他的名字在数学界也值得人们铭记，因为傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换、傅里叶分析等等数学概念都是冠他之名。

傅里叶（1768-1830）及傅里叶变换

当然，提到有趣的数学怎么会少了几何学呢？在中学，即便不喜欢数学的学生也会觉得不少几何题目趣味性非常强。关于几何学的一个真实的故事发生在2002年北京的国际数学家大会上，会上有个有趣的问题：任给一个五角星，对每个角上的三角形作外接圆，证明这个五个外接圆的交点共圆。据说，在场的世界最著名的数学家们无一能立即给出证明过程（看来，做中学数学题目还数中学的数学老师厉害）。传说，当时的大会主席吴文俊先生会后通过数学机械化方法利用计算机证明了该命题。

吴文俊是我国著名数学家，他在拓扑学方面做出了奠基性的工作，其研究成果被称为“吴公式”“吴示性类”“吴示嵌类”等。他通过汲取中国古代数学的精髓，尝试用计算机证明几何定理，开创了数学机械化的道路。他发明的数学机械化方法在国际上被誉为“吴方法”。该方法推动了自动推理的发展。吴先生还曾获得过国家最高科学技术奖。

吴文俊（1919-2017）与《几何定理机器证明的基本原理》

上面的小故事是关于平面几何的。在立体几何中，则充满了更多的奥秘。例如：正多面体是指一种特殊的凸多面体，它的每个面都是有相同边数的正多边形、每个顶点都是有相同棱数的端点。正多面体只有正四面、正六面、正八面、正十二面、正二十面体。可以证明，其它面数的正多面体是不存在的。

在三维空间的二维曲面，比如一张纸，具有正面与反面两个面。如果在正面有一只蚂蚁，只要它不从边界上翻到另外一面，它就永远在正面而爬不到反面。德国数学家、拓扑学的先驱莫比乌斯构造出了一个神奇的拓扑形状，他把一根纸条扭转了180°后再将两头拼接起来，就得到了著名的莫比乌斯带（环）。莫比乌斯带的神奇之处在于，它只有一个面。当一只蚂蚁从这个纸带的任意地方出发，沿着纸带的方向爬行，即可遍历这条纸带原先的两面。

莫比乌斯（1790-1868）与莫比乌斯带

神奇有趣的莫比乌斯带没有正反面之分，与之类似的是没有内外部之分的克莱因瓶。克莱因瓶可以看作是莫比乌斯带从二维到三维的延拓。

克莱因瓶

概率论是数学的一个分支，其中有趣的故事也数不胜数。最常见的与概率有关的事件是投硬币，硬币正面朝上和正面朝下的概率都是50%。投硬币的一个有趣题目是：连续投硬币直到连续出现N次正面朝上就停止，问投硬币次数的期望值是多少？答案是2-2 , 这个神奇的答案其实有非常巧妙的简单推导方法。

美国电影《玩转21点》中有个经典场景：三扇门后面分别是一辆价格不菲的汽车和两头羊。男主角的任务是挑中汽车所在的门。他任意指认了一扇后，教授（知道哪扇门后有车）打开了另一扇门，后面是羊。请问男主角是否应该换成指认第三扇门？这个故事其实是受到了美国作家斯托克顿的短篇小说《美女还是老虎？》的启发。该小说中，一个远古的野蛮国王有一种非常离奇的判罚犯人的做法：把罪犯送进斗兽场，要求他从两扇一样的门中选择一扇打开，其中一扇门后站着一个美丽的少女，而另一扇门后关着一只凶猛的老虎。如果罪犯选中老虎，他会成为老虎的盘中餐，这就是对他犯罪的处罚；如果罪犯选中美女，他就会被判无罪，不仅马上获释，还可以抱得美人归。

小说中的罪犯挑得美女的机会是1/2，但电影中的男主角在最开始挑中汽车的概率却只有1/3。让我们回到电影中三扇门的问题，男主角正确的选择应该是换一扇门。如果不换，他能得到汽车的概率依然是前面分析的1/3；而如果他选择更换，由于教授给出的额外信息，他得到汽车的概率就增加到了2/3！

斯托克顿（1834-1902）

另一个和概率有关的神奇问题是布丰投针问题。布丰是法国数学家、自然学家，但他在大学时修的却是法律。他考虑了一个投针的实验：在平面上画一些距离为d的平行线，向此平面随机投掷长度为 L(L<d) 的针，则针与平行线相交的概率为 2L/dπ。看似与圆周率毫无关系的实验却得到了一个与有关的结果，让人感觉到数学“处处有惊喜”。这个有趣的结果是能够用数学严格证明的。通过这种思路，人们可以运用蒙特卡洛计算机模拟的方式来近似计算的值。

布丰（1708-1788）与投针问题

极限也是数学中很有趣的概念。它的存在解释了很多所谓的“悖论”。早在战国时期，庄子就在他的著作《庄子•天下》中提到“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。意思是取一尺长的木杆，每天截去当时长度的一半，如此往复可以永远截取下去。了解极限概念的人自然知道这在现实中是个悖论。学过高等数学的大学生应该都曾做过不少有意思的计算极限的题目。在计算极限时，洛必达法则大概是运用最多的定理之一。洛必达法则告诉我们：如果两个函数在自变量趋于无穷时它们都趋向于无穷大的话，它们比值的极限等于它们导数比值的极限。该法则取自人名洛必达，他是法国数学家，撰写了第一本关于微积分的教材。

洛必达（1661-1704）

关于有趣的洛必达法则还有一个逸闻：洛必达法则并不是洛必达发现的。根据史料记载，洛必达的老师约翰·伯努利首先发现了这个法则，写信告诉了洛必达。之后，洛必达将这个结果写进了他的书里，因此后人都称之为洛必达法则。洛必达法则真正的发现者约翰·伯努利来自于瑞士的数学世家，他的哥哥雅可比·伯努利给出了极坐标下曲线的曲率半径公式，是概率论的早期研究者。著名的伯努利数、伯努利多项式、伯努利分布、伯努利大数定律都是源于雅可比·伯努利。

约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利也是数学家，但其研究不仅限于数学，也涉及力学、物理、天文、海洋、植物学等领域。流体力学中关于压强与速度关系的伯努利定理就是丹尼尔·伯努利所发现的。他也因此被称为“流体力学之父”。当然，除了洛必达法则外，约翰·伯努利也有值得骄傲的事情：世界上最伟大的数学家之一欧拉曾是他的学生。