高中数学集合概念与创新问题解答技巧及策略详解
大家好，今天小编来为大家解答高中数学集合概念与创新问题解答技巧及策略详解这个问题，很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1）设定概念问题
无论是选择题还是填空题或回答题，都可能涉及到一组与集合概念相关的基本问题，例如判断一个集合和/或元素是否符合、表示一个集合、解决集合关系和运算，解决二维集合等。
它们要么作为独立的问题类型提供，要么与其他基本应用程序结合使用。如果是前者，可能是J题值得分。
2）集体创新问题
高中数学中的创新问题一直是人们关注的话题。在高中的时候，时不时就会出现一个问题。该集合本身由于其适合定义而成为创新点之一。
在一些设定题中，出题者会给出新的定义（如新概念、新操作等），然后围绕其制定问题。
2.解决问题的一般方法（即基本技能）
1）解决集合概念问题的方法和要点
确定集合和/或元素是否合规
(1) 这个基本问题会出现在与集合有关的客观问题中，以及在验证（检查）所解决的集合是否符合规则时
(2)方法——采用“确定性、相互性、无序性”三个要素来判断
(3) 相互检查是一个容易出错的点，而且很容易被忽视。
代表一个集合
(1) 这个基本问题经常出现在以适当的集合的形式表达所得到的解（集合），或者测试对已知集合的含义的正确理解时。
（2）要点：自然语言、枚举法、描述法；熟悉每种方法的特点及其应用场合
求解集合关系和运算
（1）常见问题包括：判断几个集合之间的关系，求几个集合的并集（或交集、补集等），或者根据集合关系或运算结果求出一个集合或集合的元素。
(2) 要点：熟练掌握和应用集合的基本关系以及运算的定义和性质
(3)空集容易出错，容易忘记或不完全理解。
(4)集合的理解是一个容易出错的点——不理解集合元素的数学意义
求二维集合
(1)二维集合：该集合的元素是成对数据，如(e1,e2)；另外，二维集合的基本关系和运算的定义和性质与一维集合相同。
(2) 要点：熟练掌握和应用集合的基本关系以及运算的定义和性质
2）解决集体创新问题的方法和要领
要点：分析理解新定义（包括相关概念、性质和约束）及其（数学）实质性意义或作用；
通用方法：结合集合的基本知识和特点，将新的定义转化为等价的数学运算、思想或方法来解决问题。
三、典型事例
例1 集合A={x|x^2-(a+2)x+2a+1=0}，求集合中所有元素的和。
解：根据题意，我们只需分析x^2-(a+2)x+2a+1=0的情况就有解，所以：
（提示：集合中方程的两个解必须满足互异）
当=0时，解为a=0或4，因此x1=x2=-(a+2)/2=-1或-3，
当0时，有x1+x2=a+2，
综上所述，所需集合中所有元素的总和为-1、-3或a+2。
解释：
不要忘记判断和验证集合元素的相互关系；丢弃重复项。
举一例：已知集合A={x, xy, lg(xy)}，B={0, |x|, y}，若A=B，则尝试求其值x、y 的。
例2 集合M={m|10/(m+1) Z，mZ}的子集个数。
解：根据题意，在集合M={m|10/(m+1)Z,mZ}中，10的因数为：
所以可能的m是：
即M={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}，共8个元素，
所以M的子集个数为：
2^8=256。
解释：
一般来说，正确理解集合和已知条件的含义是解决问题的关键。本题中已知的公式10/(m+1)本质上是利用能整除10的因数得到的m的集合——。快速理解这一点是解决本题的关键。
又如：{x|y=1/x^2}本质上是y=1/x^2的定义域，{y|y=1/x^2}本质上是y=1/x^2的定义域。
举个例子：{x|y=x}和{y|y=x}的实质含义是什么？
举一例：已知A={x丨x=28m+20n，m，nZ}，B={x丨x=12m+18n，m，nZ}。求属于AB的最小正整数，此时求集合A和B中m和n的一组值。
例3 已知A={x|-3x5}，B={x|a+1x2a+3}，B是A的子集，求实数的取值范围编号a。
解：B是A的子集。讨论：
当B=,a+12a+3时，我们得到a-2，
当B不为空时，a+12a+3，则a-2，
由a+1-3，2a+15，解为a-4且a2，
综上所述，实数a的取值范围就是上述两种情况的并集，我们得到：
解释
有些同学可能会漏掉这道题的空集。
在考虑子集时，请记住“空集是任何集合的子集，也是任何非空集的真子集”。
一个集合本身也可以作为另一个集合的元素；对于空集也是如此。
例4 假设集合A是N*的有限子集，集合S={(a, b)|aA, bA, a+bA}，集合T={(a, b)| a A, b A, a-b A}.那么下列说法中正确的一项是（其中|M|表示集合M中元素的个数） ()
A. |S||T|, B. |S|=|T|, C |S||T|，D. 不确定
解释：
本题是一道以集合为背景的客观题。它涉及到集合概念基本应用相关的几个基本问题，包括与二维集合相关的解、表示、基本关系等。这是一个基本问题。
示例5 如果集合A 具有以下属性：
(2) 若x,yA，则x-yA；当x0, 1/xA时，集合A被称为“好集合”。
（）分别判断集合B={1,0,-1}和有理数集合Q是否为“好集合”，并解释理由；
(II) 假设集合A 是一个“好集合”，并验证：如果x, y A，则x+y A；
（三）对于任何“好集合”A，分别判断下列命题是否正确或错误，并解释理由。
命题p：若x，yA，则xyA必存在；
命题q：若x，yA，且x0，则必有y/xA；
解： () 因为-1B、1B、-1-1=-2B，所以集合B不是一个“好集合”。
又因为0 Q，1 Q，对于任意x，y Q，有x-y Q，
而当x0时，1/xQ，
因此有理数集合Q 是一个“好集合”。
(II) 因为集合A是一个“好集合”，0A，
且yA，则0-yA，即-yA，
所以x-(-y)A，即x+yA。
解释：
本题是以set为背景新定义的题型。 ——新定义了一个概念“好集”。熟练掌握集合概念的基本应用、集合创新的基本应用、建议逻辑（命题）概念的基本应用是准确回答本题的前提。
从上面的解题过程可以看出，这类问题的解决还是有相当大的难度和复杂度的。根据上面的解题流程可以看出，解题的总体思路是：
（一）首先要理解定义，抓住本质。例如，本题定义的本质是给出一个集合，其中包含两个特定元素，并且集合中的元素满足两个约束关系；
(2)然后，围绕新定义解决或证明问题。比如，在解决这个问题的过程中，各种操作或者关系并不复杂。最重要的是围绕定义给出的具体要素及其约束关系展开解题思路，因为给定的解决问题必须满足新定义的要求。
实施例6 如图所示的维恩图中，A和B为非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合。 A=(0,2), B=(1,+), 则A#B=______
解：（提示：根据图中阴影部分表示的集合中属于集合A而不属于集合B的元素，求出ACRB；因此，根据交集的定义可得以及补语的定义）根据问题的含义，
解释：
本题是新定义的基于集合的题型。 —— 新定义了组合操作“#”。本题主要考察集合表示的维恩图、集合关系以及运算的解等集合概念的基本应用，是一道基础题。
回答这个问题的关键是要理解新定义的操作——的实际含义，即理解其本质。
例7 如果X是一个集合，则是以X的一些子集为元素的集合，并且满足：
X属于，属于；
中任意多个元素的并集都属于；
中任意多个元素的交集都属于。那么 就被称为集合X 上的拓扑。
已知对于下面给出的四个集合，集合X={a, b, c}：
其中，集合的序号为集合X上的拓扑。
解：={,{a},{c},{a,b,c}}
且{a}{c}={a,c}，所以不是集合X上拓扑的集合；
={,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}
满足：
且{a, b}{a, c}={a, b, c}，所以不是集合X上拓扑的集合；
满足：
故答案为。
解释：
本题是一道基于集合的新定义题。 ——新定义了一个新概念“集合X上的拓扑”。本题是一道基础题，考验学生收集概念以及理解、分析和应用新概念的能力。
解决问题的一般方法
对新定义的概念的准确理解是解决问题的前提，而解决问题的诀窍在于紧扣概念的定义和性质，或者将其作为待验证问题的约束，讨论其是否成立。感到满意；或者将它们视为待验证问题的已知条件、由它们得出的结果等。
因此，解决问题的一般方法是：首先，关键是正确理解新的定义——根据需要画图，列举几个特殊值来辅助理解；然后用枚举或排列组合的方法来解决问题。
例8 假设完全集合U={1,2,3,4,5,6}，集合A和B都是U的子集。若AB={1,3,5}，则A和B称为“理想匹配集”，记为[A，B]。这样的“理想匹配集”[A，B]有多少个？
解：由AB={1,3,5}，U={1,2,3,4,5,6}，说明2,4,6只能出现在A或B或AB中。 3种情况：
2,4,6各有3种选择
一共有333=27种可能
解释：
正确理解题目中定义的“理想匹配集”概念及其本质含义，然后将其转化为熟悉的数学概念或模型来解决问题。本题的本质是解决一个排列组合问题，问题的背景是集合元素。
举一例：设S={1,2,3,4,5,6}，A是S的子集。当xA时，若x-1A，x+1A，则称x为a A.“孤立元素”的子集，则S 中不包含“孤立元素”的4 元素子集的个数为______。
在涉及集合概念的题中，注意三要素的符合性检查，忽略空集、理解集合的数学意义等容易出错的点。
以集合为背景的创新问题，一方面需要扎实的集合基础知识；另一方面，正确理解和应用新的定义是解决问题的关键。事实上，新定义的题型本身就决定了不容易遇到问题。相反，看似复杂冗长的题目的复习对于一些不够耐心和细心的同学来说会是一个挑战。
相关问答
答： 高中数学集合概念问题的难度取决于题型和对学生的理解程度。一些题目的关键在于明确什么是集合、什么是子集、它们的交并补的关系等基础概念。另外，掌握运算的本质和规律也是必不可少的，例如笛卡儿积、并集、交集以及补集的计算方法。
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答： 解题过程中，建议先仔细审题，从题目中找出哪些是集合变量，哪些是操作对象。然后根据已知信息构建集合的包含关系，运用定义和运算规则进行解答。最后要注意逻辑严密，解释充分，以便更清晰地表达自己的解题思路。
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答： "创新"在数学题目中通常指的是学生需要突破传统的思维模式，运用多种方法和策略来解决问题。例如，不仅要用熟能生巧的公式计算，还要尝试进行抽象概括，建立模型或图表，然后分析、推导、比较和联想到已知知识，最终找到新的解题思路或方法。
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答： 理解"创新"的关键在于不要只是求解正确答案，更要注重过程的逻辑性和思维的严谨性。要敢于尝试新的方法，即使看起来较为复杂，也要坚持思考并记录自己的过程，从中积累经验和教训。这种勇於突破的探索精神正是高中数学学习的精髓所在。
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