一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，B＝{x|0＜|x|＜1}，则（∁_RA）∩B＝（ ）

A．[0，1）B．（0，1）

C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）

2．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣1），则＝（ ）

A．﹣1﹣3iB．1﹣iC．1﹣3iD．﹣1+i

3．（5分）设函数．若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为（ ）

A．B．1C．D．

4．（5分）已知向量，则“x＜2”是“与的夹角为钝角”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（5分）若{a_n}是等差数列，S_n表示{a_n}的前n项和，a₃+a₈＞0，S₉＜0，则{S_n}中最小的项是（ ）

A．S₄B．S₅C．S₆D．S₇

6．（5分）小明将Rt△ABD与等边△BCD摆成如图所示的四面体，其中|AB|＝4，|BC|＝2，若AB⊥平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．

7．（5分）已知直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是（ ）

A．B．C．D．

8．（5分）已知函数，若方程f（x）＝m|x﹣1|有5个不同的实数根，且最小的两个实数根为x₁，x₂，则的取值范围为（ ）

A．B．

C．D．

二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

（多选）9．（5分）已知函数的所有零点从小到大依次记为x₁，x₂，…，x_n，则（ ）

A．n＝20B．n＝18

C．x₁+x₂+…+x_n＝10D．x₁+x₂+…+x_n＝9

（多选）10．（5分）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件M：取出的两个球是一个红球一个白球，事件N：两个球中至少一个白球，事件K：两个球均是红球，则下列结论正确的是（ ）

A．B．

C．D．

（多选）11．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，动点M，N在直线l：上，且FM⊥FN，线段FM，FN分别交C于P，Q两点，过P作l的垂线，垂足为R．设△FMN的面积为S₁，△FPQ的面积为S₂，则（ ）

A．S₁的最小值为B．

C．为定值D．的最小值为

（多选）12．（5分）已知f（x）＝x（e^x+2），g（x）＝（x+2）lnx，则下列结论正确的是（ ）

A．函数g（x）在（0，+∞）上存在极大值

B．f'（x）为函数f（x）的导函数，若方程f'（x）﹣m＝0有两个不同实根，则实数m的取值范围是（2﹣e^﹣2，2）

C．若对任意x≥e，不等式f（ax）≤f（x²+2x）lnx）恒成立，则实数a的最大值为2+e

D．若f（x₁）＝g（x₂）＝n（n＞0），则的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．（5分）为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有种分配方法（用数字作答）．

14．（5分）在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+a_n+1＝eⁿ，其中e是自然对数的底数，令S_n＝a₁+，则ln＝．

15．（5分）已知MN是正四面体ABCD的外接球的一条直径，点P在正四面体表面上运动，正四面体的棱长是2，则的取值范围为．

16．（5分）已知函数若函数f（x）的图象在点A（x₁，f（x₁））（x₁＜0）和点B（x₂，f（x₂））（x₂＞0）处的两条切线相互平行且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围为．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．

（1）求tanC；

（2）若AB边上的中线长为1，求△ABC面积的最大值．

18．（12分）已知数列{a_n}是首项为2的等比数列，公比q＞0，且a₄是6a₂和a₃的等差中项．

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）设数列{b_n}满足，求{b_n}的前2023项和T₂₀₂₃．

19．（12分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝AD＝BC＝2，E为PA的中点，．

（1）证明：EF∥DM；

（2）求平面EFD与平面PBC所成夹角．

20．（12分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．（1）求第2次摸到红球的概率；

（2）设第1，2，3次都摸到红球的概率为P₁；第1次摸到红球的概率为P₂；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P₃；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P₄．求P₁，P₂，P₃，P₄；

（3）对于事件A，B，C，当P（AB）＞0时，写出P（A），P（B|A），P（C|AB），P（ABC）的等量关系式，并加以证明．

21．（12分）已知F₁，F₂分别是双曲线C：的左、右焦点，，点F₁到C的渐近线的距离为3．

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）已知点O为坐标原点，动直线l与C相切，若l与C的两条渐近线交于A，B两点，求证：△AOB的面积为定值．

22．（12分）已知函数f（x）＝x⁴+axlnx（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，g（x）＝f′（x）．

（1）若a＝﹣12，求y＝f（x）在上的最大值；

（2）设P（x₁，g（x₁）），Q（x₂，g（x₂）），其中1≤x₂＜x₁．若直线PQ的斜率为k，且，求实数a的取值范围．

2024年广东省深圳中学高考数学一调试卷

参考答案与试题解析

一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，B＝{x|0＜|x|＜1}，则（∁_RA）∩B＝（ ）

A．[0，1）B．（0，1）

C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）

【分析】对分式不等式、含绝对值不等式求解后结合集合运算即可得．

【解答】解：由，可得x＜0或x≥1，即A＝（﹣∞，0）∪[1，+∞），∁_RA＝[0，1），

由0＜|x|＜1，可得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，

即B＝（﹣1，0）∪（0，1），所以（∁_RA）∩B＝（0，1）．

故选：B．

【点评】本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣1），则＝（ ）

A．﹣1﹣3iB．1﹣iC．1﹣3iD．﹣1+i

【分析】根据题意，由复数的几何意义可得z＝1﹣i，进而由复数的计算公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，复数z对应的点的坐标为（1，﹣1），则z＝1﹣i，

则＝﹣2i＝（1﹣i）（﹣i）﹣2i＝﹣1﹣3i．

故选：A．

【点评】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，属于基础题．

3．（5分）设函数．若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为（ ）

A．B．1C．D．

【分析】由是最大值点，结合正弦函数的最大值可得ω的表达式，再求得ω的最小值即可．

【解答】解：由可知：当时，函数f（x）取得最大值，

所以，解得：，

因为ω＞0，所以ω的最小值为．

故选：C．

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．

4．（5分）已知向量，则“x＜2”是“与的夹角为钝角”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【分析】根据向量的夹角为钝角，由且与不共线求得x的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断．

【解答】解：由已知可得，由∥可得（﹣2）×3＝3x，解得x＝﹣2，

所以由与的夹角为钝角可得解得x＜2，且x≠﹣2．

因此，当x＜2时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；

当与的夹角为钝角时，x＜2，且x≠﹣2，即x＜2成立，则必要性成立．

综上所述，“x＜2”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件．

故选：B．

【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，向量平行的坐标关系，向量数量积的计算公式，是基础题．

5．（5分）若{a_n}是等差数列，S_n表示{a_n}的前n项和，a₃+a₈＞0，S₉＜0，则{S_n}中最小的项是（ ）

A．S₄B．S₅C．S₆D．S₇

【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．

【解答】解：S₉＜0，

则，解得a₅＜0，

a₃+a₈＞0，

则a₅+a₆＞0，

故a₆＞0，

等差数列的公差d＝a₆﹣a₅＞0，

所以{S_n}中最小的项是S₅．

故选：B．

【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．

6．（5分）小明将Rt△ABD与等边△BCD摆成如图所示的四面体，其中|AB|＝4，|BC|＝2，若AB⊥平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．

【分析】过Rt△ABD，△BCD的外心作所在平面的垂线，所得交点即为球心，结合勾股定理即可求出半径，利用球的表面积公式即可求解．

【解答】解：Rt△ABD中，取AD中点E，则E为Rt△ABD的外心，

在等边△BCD中取重心G，G也为△BCD的外心，

取BD中点F，连接GF，EF，GD，

过Rt△ABD，△BCD的外心作所在平面的垂线，

所得交点O即为外接球的球心，

则EF∥AB，AB⊥平面BCD，则EF⊥平面BCD，

则OG∥EF，

GF⊥BD，AB⊥平面BCD，GF⊂平面BCD，

GF⊥AB，AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，

则GF⊥平面ABD，所以GF∥OE，

故GFEO为矩形，

则，

，

则，

则外接球的表面积为．

故选：C．

【点评】本题考查了球的表面积计算，属于中档题．

7．（5分）已知直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是（ ）

A．B．C．D．

【分析】设出点的坐标及直线l的方程，联立直线l和椭圆方程，韦达定理，根据中点坐标求得k，b的关系式，即可求解．

【解答】解：设AB的中点为E，由题意知，点E既是AB的中点又是MN的中点，

设l：y＝kx+b（k＞0，b＞0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由x＝0，可得y＝b，由y＝0，可得x＝﹣，

则，M（﹣，0），N（0，b），E（﹣，）；

直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|AM|＝|BN|，

故MN的中点与AB的中点重合，

把直线代入椭圆方程得，

即，

故，

故．解得，从而．

故选：A．

【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．

8．（5分）已知函数，若方程f（x）＝m|x﹣1|有5个不同的实数根，且最小的两个实数根为x₁，x₂，则的取值范围为（ ）

A．B．

C．D．

【分析】根据题意作出f（x）与y＝m|x﹣1|的大致图象，结合图象与导数的几何意义求得m的取值范围，再利用韦达定理得到关于m的表达式，从而得解．

【解答】解：如图，作出函数与y＝m|x﹣1|的大致图象，

若方程f（x）＝m|x﹣1|有5个不同的实数根，

则f（x）的图象与y＝m|x﹣1|的图象有5个不同的交点，

当m＜0时，y＝m|x﹣1|≤0，f（x）的图象与y＝m|x﹣1|的图象无交点，

当m＝0时，y＝m|x﹣1|＝0，f（x）的图象与y＝m|x﹣1|的图象有2个交点

所以m＞0，

当直线y＝m|x﹣1|与y＝ln（x﹣1）的图象相切时，设切点坐标为（x₀，ln（x₀﹣1）），

由y＝ln（x﹣1）可得，则切线斜率，

故x₀＝e+1，则，结合图象可得m的取值范围为，

由，得x²+mx﹣m＝0，则Δ＝m²+4m＞0恒成立，

设该方程的两个实数根为x₁，x₂，则x₁+x₂＝﹣m，x₁x₂＝﹣m，

故，

因为y＝m²+2m开口向上，对称轴为m＝﹣1，

又，

所以的取值范围为．

故选：B．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，解决的关键是作出f（x）与y＝m|x﹣1|的大致图象，充分利用数形结合求得m的取值范围，从而得解，属于中档题．

二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

（多选）9．（5分）已知函数的所有零点从小到大依次记为x₁，x₂，…，x_n，则（ ）

A．n＝20B．n＝18

C．x₁+x₂+…+x_n＝10D．x₁+x₂+…+x_n＝9

【分析】由题意可得函数的零点个数，即为y＝sinπx与函数y＝lg|x﹣|的图象交点个数，结合图象可得交点个数；推得f（x）的图象关于直线x＝对称，可得零点的和．

【解答】解：由f（x）＝0，可得sinπx＝lg|x﹣|，

函数的零点个数，即为y＝sinπx与函数y＝lg|x﹣|的图象交点个数．

由图象可得y＝sinπx与函数y＝lg|x﹣|的图象有20个交点，即n＝20，故A正确，B错误；

由f（x+）＝sinπ（x+）﹣lg|x|＝cosπx﹣lg|x|，f（﹣x）＝sinπ（﹣x）﹣lg|x|＝cosπx﹣lg|x|，

可得f（+x）＝f（﹣x），即f（x）的图象关于直线x＝对称，

即有x₁+x₂₀＝x₂+x₁₉＝...＝x₁₀+x₁₁＝1，

则x₁+x₂+...+x_n＝x₁+x₂+...+x₂₀＝10，故C正确，D错误．

故选：AC．

【点评】本题考查函数与方程的关系，以及函数的对称性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

（多选）10．（5分）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件M：取出的两个球是一个红球一个白球，事件N：两个球中至少一个白球，事件K：两个球均是红球，则下列结论正确的是（ ）

A．B．

C．D．

【分析】根据题意，由古典概型公式分析A，由子事件的性质分析B，由互斥事件的概率公式分析C，验证P（M）和P（N）+P（）是否相等可得D，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，

从盒子里随机取出2个小球，有＝10种取法，

记事件E：两个球均是白球，

依次分析选项：

对于A，事件M包含的取法数为＝6，则P（M）＝＝，A正确；

对于B，由于M⊆N，则P（MN）＝P（M）＝，B错误；

对于C，M+K即取出的两个是一个红球一个白球或都是红球，其概率P（M+K）＝+＝，C正确；

对于D，P（M）＝，P（N）＝P（E）+P（M）＝+＝，P（）＝1﹣P（K）＝1﹣＝，D错误．

故选：AC．

【点评】本题考查概率的性质以及计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．

（多选）11．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，动点M，N在直线l：上，且FM⊥FN，线段FM，FN分别交C于P，Q两点，过P作l的垂线，垂足为R．设△FMN的面积为S₁，△FPQ的面积为S₂，则（ ）

A．S₁的最小值为B．

C．为定值D．的最小值为

【分析】由双曲线的性质及三角函数的定义，结合基本不等式的应用及导数的综合应用逐一判断即可．

【解答】解：对于A，由双曲线方程可得F（2，0），设，

则，

设|HM|＝x，|HN|＝y，

由△MHF∽△HFN可得，

所以，当且仅当时等号成立，

故A错误；

对于B，设P（x₀，y₀），

则，

由，

得，

所以，

所以，

故B正确；

对于C．由，

可得，

所以，

整理得为定值，

故C正确；

对于D，易知，

设∠MFH＝α，

则，

设|FP|＝m，

则，

解得，

同理可得，

所以，

令，

则，

设，

则，

所以φ（t）在上单调递减，

故φ（t）的最小值为，

故D错误．

故选：BC．

【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，属中档题．

（多选）12．（5分）已知f（x）＝x（e^x+2），g（x）＝（x+2）lnx，则下列结论正确的是（ ）

A．函数g（x）在（0，+∞）上存在极大值

B．f'（x）为函数f（x）的导函数，若方程f'（x）﹣m＝0有两个不同实根，则实数m的取值范围是（2﹣e^﹣2，2）

C．若对任意x≥e，不等式f（ax）≤f（x²+2x）lnx）恒成立，则实数a的最大值为2+e

D．若f（x₁）＝g（x₂）＝n（n＞0），则的最大值为

【分析】A．g（x）＝（x+2）lnx，x∈（0，+∞），g′（x）＝lnx+，令u（x）＝lnx+，利用导数研究其单调性与极值，进而得出函数g（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出正误；

B．f（x）＝x（e^x+2），f′（x）＝e^x+2+xe^x＝（x+1）e^x+2，令v（x）＝（x+1）e^x+2，利用数研究其单调性与极值，进而得出实数m的取值范围，即可判断出正误；

C．由选项B可知：x≥0时，f′（x）＞0恒成立，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，于是x≥e时，不等式f（ax）≤f（x²+2x）lnx）恒成立，可得a≤（x+2）lnx，由选项A利用g（x）＝（x+2）lnx在x∈（0，+∞）上单调性，即可得出结论，进而得出正误；

D．f（x₁）＝g（x₂）＝n（n＞0），可得x₁（+2）＝（x₂+2）lnx₂＝n，即（+2）ln＝（x₂+2）lnx₂＝n，由n＞0，得x₁＞0，x₂＞1，结合选项A可得：g（x）＝（x+2）lnx在x∈（0，+∞）上单调递增，于是＝x₂，x₁＞0，＝＝，令h（x）＝，研究其单调性即可判断出正误．

【解答】解：A．g（x）＝（x+2）lnx，x∈（0，+∞），g′（x）＝lnx+，令u（x）＝lnx+，则u′（x）＝﹣＝，x＞2时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，0＜x＜2时，u′（x）＜0，函数u（x）单调递减，

∴x＝2时，函数u（x）取得极小值即最小值，∴g′（x）＝u（x）≥u（2）＝2+ln2＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，因此A错误；

B．f（x）＝x（e^x+2），f′（x）＝e^x+2+xe^x＝（x+1）e^x+2，令v（x）＝（x+1）e^x+2，v′（x）＝（x+2）e^x，x＜﹣2时，v′（x）＜0，函数v（x）单调递减；x＞﹣2时，v′（x）＞0，函数v（x）单调递增．∴v（x）_min＝v（﹣2）＝2﹣＝f′（x）_min＝2﹣e^﹣2，x＜﹣1时，恒有f′（x）＜2，画出图象，方程f'（x）﹣m＝0有两个不同实根，则实数m的取值范围是（2﹣e^﹣2，2），因此B正确；

C．由选项B可知：x≥0时，f′（x）＞0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，于是x≥e时，不等式f（ax）≤f（x²+2x）lnx）恒成立，则x≥e时，a≤（x+2）lnx，由选项A可得：g（x）＝（x+2）lnx在x∈（0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（e）＝2+e，即a≤2+e，∴实数a的最大值为2+e，C正确；

D．f（x₁）＝g（x₂）＝n（n＞0），则x₁（+2）＝（x₂+2）lnx₂＝n，即（+2）ln＝（x₂+2）lnx₂＝n，由n＞0，得x₁＞0，x₂＞1，由选项A可得：g（x）＝（x+2）lnx在x∈（0，+∞）上单调递增，于是＝x₂，x₁＞0，因此＝＝，令h（x）＝，令h（n）＝，h′（n）＝，当n∈（0，e）时，h′（n）＞0，函数h（x）单调递增；当n∈（e，+∞）时，h′（n）＜0，函数h（x）单调递减．∴n＝e时，函数h（n）取得极大值即最大值，h（e）＝，因此D正确．

故选：BCD．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．（5分）为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法（用数字作答）．

【分析】利用分组分配求解即可．

【解答】解：先把5名志愿者分成2，1，1，1共4组，然后再进行排列，

有种不同的分配方法．

故答案为：240．

【点评】本题主要考查排列组合指数的应用，考查计算能力，属于基础题．

14．（5分）在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+a_n+1＝eⁿ，其中e是自然对数的底数，令S_n＝a₁+，则ln＝1﹣n．

【分析】由，得eS_n＝，两式相减化简整理可得，从而求出结果．

【解答】解：由，得eS_n＝，

则（1+e）S_n＝ea₁+（a₁+a₂），

又因为a₁＝1，a_n+a_n+1＝eⁿ，

所以（1+e）S_n＝e+e+e+…+e+，

所以，

故ln＝ln＝ln＝1﹣n．

故答案为：1﹣n．

【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了学生的计算能力，属于中档题．

15．（5分）已知MN是正四面体ABCD的外接球的一条直径，点P在正四面体表面上运动，正四面体的棱长是2，则的取值范围为．

【分析】根据题意可求得外接球半径为，利用可得，由几何关系求出|PO|的最值即可求出的取值范围．

【解答】解：如图，

设A点在平面BCD内的射影为E，F为DC的中点，

易知E在BF上，且AE⊥平面BCD，又正四面体的棱长是2，

所以可得：，在正△BCD中，，

由勾股定理可得：，

设外接球半径为R，则可知：（AE﹣R）²+BE²＝R²，

即，解得，

易知，

又因为MN是外接球的一条直径，所以，且，

因此，

易知，，

所以，

，

因此可知的取值范围为．

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量在立体几何中的应用，属于中档题．

16．（5分）已知函数若函数f（x）的图象在点A（x₁，f（x₁））（x₁＜0）和点B（x₂，f（x₂））（x₂＞0）处的两条切线相互平行且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围为[，+∞）．

【分析】设切线的倾斜角为α，则|AM|＝，|BN|＝，再结合切线相互平行，则导数相等，得到x₁，x₂之间的关系，将化成关于x₂的函数，再研究函数的值域即可．

【解答】解：不妨设两条切线的倾斜角为α，显然α为锐角，

则|AM|＝，|BN|＝，所以＝，

由（e^x）′＝e^x，（﹣x²）′＝﹣2x，

所以＝﹣2x₁，即x₁＝，

所以＝（x₂＞0），

令g（x）＝，x＞0，，g′（x）＞0⇒x＞1，g′（x）＜0⇒0＜x＜1，

所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

且x→0时，g（x）→+∞；x→+∞时，g（x）→+∞，g（x）_min＝g（1）＝，

所以g（x），即的取值范围是[，+∞）．

故答案为：[，+∞）．

【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性、最值的方法，属于中档题．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．

（1）求tanC；

（2）若AB边上的中线长为1，求△ABC面积的最大值．

【分析】（1）由正余弦定理化简条件中的等式，可得tanC；

（2）AB边上的中线为CD，由向量关系：，两边平方利用向量数量积的运算和基本不等式，求出ab的最大值，可计算△ABC面积的最大值．

【解答】解；（1）由正余弦定理得：，

又，

可得，

即；

（2）设AB边上的中线为CD，C∈（0，π），由（1）知，

再由向量关系：，两边平方得，

即4＝a²+b²+ab，则有4﹣ab＝a²+b²≥2ab，得（当且仅当a＝b时取等号），

所以．

即△ABC面积的最大值为．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形中线长定理的综合应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．

18．（12分）已知数列{a_n}是首项为2的等比数列，公比q＞0，且a₄是6a₂和a₃的等差中项．

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）设数列{b_n}满足，求{b_n}的前2023项和T₂₀₂₃．

【分析】（1）由等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，解方程可得公比，进而得到所求；

（2）由对数的运算性质和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．

【解答】解：（1）数列{a_n}是首项为2的等比数列，公比q＞0，且a₄是6a₂和a₃的等差中项，

可得2a₄＝6a₂+a₃，即2a₁q³＝6a₁q+a₁q²，即有2q²﹣q﹣6＝0，解得q＝2（﹣舍去），

由a₁＝2，可得a_n＝2ⁿ；

（2）由（1）可得＝＝＝﹣，

则T₂₀₂₃＝1﹣+﹣+...+﹣＝1﹣＝．

【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

19．（12分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝AD＝BC＝2，E为PA的中点，．

（1）证明：EF∥DM；

（2）求平面EFD与平面PBC所成夹角．

【分析】（1）由题意可建立空间直角坐标系，求出、即可得证；

（2）求出平面EFD与平面PBC的法向量后即可得平面EFD与平面PBC所成夹角．

【解答】（1）证明：因为AB⊥BC，AD∥BC，

所以AB⊥AD，又PD⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，

所以PD⊥AB、PD⊥AD，

故可以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中z轴∥PD，

由题意可得A（0，0，0），D（0，2，0），B（2，0，0），C（2，3，0），P（0，2，2），

则，，

，

，由E为PA的中点，

故，则，，

则，故，

故EF∥DM；

（2）解：由（1）知，，且，

故，

设平面EFD与平面PBC的法向量分别为，

则有，

即，

不妨分别取x₁＝1，x₂＝1，则可得，

则，故，

即平面EFD与平面PBC所成夹角为90°．

【点评】本题考查向量法在证明空间线面位置关系和求空间角上的综合运用，属于中档题．

20．（12分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．（1）求第2次摸到红球的概率；

（2）设第1，2，3次都摸到红球的概率为P₁；第1次摸到红球的概率为P₂；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P₃；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P₄．求P₁，P₂，P₃，P₄；

（3）对于事件A，B，C，当P（AB）＞0时，写出P（A），P（B|A），P（C|AB），P（ABC）的等量关系式，并加以证明．

【分析】（1）根据全概率公式求解即可；

（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；

（3）根据（2）猜想P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB），由条件概率公式证明即可．

【解答】解：（1）根据题意，记事件“第i次摸到红球”为A_i（i＝1，2，3，⋯，10），则第2次摸到红球的事件为A₂，

于是由全概率公式，可得＝．

（2）由已知得，

，

，

．

（3）由（2）可得P₁＝P₂P₃P₄，即P（A₁A₂A₃）＝P（A₁）P（A₂|A₁）P（A₃|A₁A₂），

可猜想：P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB），

证明如下：由条件概率及P（A）＞0，P（AB）＞0，

得，，

所以．

【点评】本题考查条件概率的计算，涉及全概率公式，属于基础题．

21．（12分）已知F₁，F₂分别是双曲线C：的左、右焦点，，点F₁到C的渐近线的距离为3．

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）已知点O为坐标原点，动直线l与C相切，若l与C的两条渐近线交于A，B两点，求证：△AOB的面积为定值．

【分析】（1）利用焦距求出c，利用点到直线距离公式表示F₁到C的渐近线的距离求出b，再利用c²＝a²+b²求出a，然后求出渐近线．

（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据Δ＝0，找到参数之间的关系，线段AB的长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明．

【解答】解：（1）因为，所以，因为F₁（﹣c，0），渐近线为，

即bx±ay＝0，则F₁到C的渐近线的距离为可表示为，

所以，

所以双曲线C的标准方程为，渐近线方程为y＝±3x．

（2）证明：①当直线经过双曲线的顶点时直线AB的斜率不存在，此时直线方程为x＝±1，

此时易得|AB|＝6，点O到直线AB的距离为1，所以此时；

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y＝kx+m，

由得（9﹣k²）x²﹣2kmx﹣（m²+9）＝0，

因为直线与双曲线相切，所以9﹣k²≠0，且Δ＝4k²m²+4（9﹣k²）（m²+9）＝0，

整理得k≠±3且k²＝m²+9，即m²＝k²﹣9，

由得，则，

同理得到，

所以，

点O到直线y＝kx+m的距离，

所以，

综上所述，△AOB的面积为定值3．

【点评】本题考查了求双曲线方程及渐近线方程，考查了方程思想及分类讨论思想，考查了数学运算能力，属于中档题．

22．（12分）已知函数f（x）＝x⁴+axlnx（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，g（x）＝f′（x）．

（1）若a＝﹣12，求y＝f（x）在上的最大值；

（2）设P（x₁，g（x₁）），Q（x₂，g（x₂）），其中1≤x₂＜x₁．若直线PQ的斜率为k，且，求实数a的取值范围．

【分析】（1）二次求导判断函数f（x）在上的单调性，即可求解；

（2）表示出斜率k，结合，得出对任意的x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＞x₂，都有成立，由f（x）可得其导函数g（x），代入并令

，作差（x₁﹣x₂）（g′（x₁）+g′（x₂））﹣2（g（x₁）﹣g（x₂））并化简即可求出a的取值范围．

【解答】解：（1）若a＝﹣12，f（x）＝x⁴﹣12xlnx，则f′（x）＝4x³﹣12lnx﹣12，

，

当时，f^′′（x）＞0，则y＝f′（x）在上单调递增，

又，故时，f′（x）＜0，

所以y＝f（x）在上单调递减，

所以y＝f（x）在上的最大值为f（1）＝1．

（2），因为，

所以对任意的x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＞x₂，都有，

因为f（x）＝x⁴+axlnx，得．

对任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，令，

则（x₁﹣x₂）（g′（x₁）+g′（x₂））﹣2（g（x₁）﹣g（x₂））

＝

＝

＝，对∀x₂∈[1，+∞），∀t∈（1，+∞）恒成立，

所以，

则对∀t∈（1，+∞）恒成立，

记，

．

（1）若a﹣12，则φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．φ（t）＞φ（1）＝0，符合题意；

（2）若a＜﹣12，则，

则y＝φ（t）在上单调递减，单调递增，

则当时，φ（t）＜φ（1）＝0，不合题意（舍去）．

综上：a≥﹣12．

所以a的取值范围是[﹣12，+∞）．

【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了导数的综合应用，考查了函数思想，属于难题．