天文学不可或缺的是海量观测数据的处理和计算，以及对三角形、球体、圆等几何元素性质的研究。“勾股定理”是直角三角形最早的性质被人们发现。

如图所示，在RtABC中，如果已知两条边a、b，就可以求出第三条边。但如果在RtABC中，一个角度（例如A=3）和一条边c（例如c=60）已知，那么如何计算边a和b的值呢？ (*)

对于古人来说，这不是一个简单的问题，而是基于导航（根据星星的位置确定夜间时间，需要距离测量）等实际需要，他们不得不克服困难。公元前2世纪，著名的古希腊数学家喜帕恰斯迈出了最重要的一步。

喜帕恰斯

喜帕恰斯是公元前2世纪古希腊著名的天文学家。我们对他的生平知之甚少，他的学术成就主要来自于托勒密的记载。喜帕恰斯是第一个用“经纬度”确定地球上地点位置的人，提倡古巴比伦人将圆分为360的方法，并编制了850颗星星的星表，但这些还不足以吸引他以下成就。注意力。

为了求解(*)，喜帕恰斯将RtABC放入一个圆圈中进行研究。如图1所示，容易知道圆弧BC所对的圆心角COB是圆周角A的两倍，记为COB=2A=2。

喜帕恰斯使用底座60，直径|AB|=120，圆周角为360。他结合几何方法，表达了弦长|BC|作为2弧BC的函数，并将其制成“和弦表”。

不幸的是，这张原始的桌子早已丢失。我们只能从托勒密的书《天文学大成》（天文学大成）中了解到改进后的“弦表”及其推导过程。详情参见附录[1]。

图1（半径|AB|=120）

《天文学大成》（Almagest）第2 卷包含现存最古老的“字符串值表”。如下图所示，表格左边三栏是希腊文，右边三栏是翻译。弧是指具有一定角度的弧长，弦是指对应的弦长。从“和弦表”可知，当Arcs=4时，弦=4；11.164.187778。即4弧长对应的弦长值约为4.187778，我们用符号ch(4)4.187778。

【注】：4;11.16为十六进制表示法，换算为十进制，4;11.16=4+11/60+16/36004.187778

Almagest 中的“和弦表”相当于给出0-90 之间每15' 的正弦值。

那么这与求解RtABC有什么关系呢？我们再回到图1，ch(4)4.187778，相当于直径|AB|=120的圆中圆周角2=4的弦长|BC|4.187778。到这里，我想大家也发现了，这不就是我们学过的“正弦”的变形吗？ ch(4)与sin(2)的关系如下

图1（半径|AB|=120）右图=2

有了喜帕恰斯的“和弦表”，我们就可以轻松解决上面提出的问题：在RTABC中，已知A=3，c=60，求a的值。根据《和弦表》，ch(6)=6； 16.496.28027778，则

解决了直角三角形问题后，如果是锐角三角形或钝角三角形，如何根据“弦表”求边长呢？喜帕恰斯有一个绝妙的想法：通过画一条高度线，可以将——转换成直角三角形，然后查表计算。如图2所示，如果A和a、c边已知，则求解b边的步骤如下：

1、制作BGAC，根据A计算ABG，查“和弦表”，计算|AG|

2. 计算|BG|来自毕达哥拉斯定理。获取|CG|来自毕达哥拉斯定理。

3. 因此b=|AG|+|CG|

图2：锐角三角形和钝角三角形

如此美丽！利用“弦表”结合“毕达哥拉斯定理”，喜帕恰斯可以顺利地求解三角形的边或角，即球面三角形中弧与弦的转换，其中“正弦”起着重要的作用。喜帕恰斯的“弦表”催生了一门全新的学科“三角学”，因此后人将喜帕恰斯称为“三角学之父”。

根据上面的描述，我们知道Almagest中的“弦表”是以“圆”为基础的，描述了2弧BC与其对应的弦长|BC|之间的关系。到了公元5世纪，印度数学家ryabhaa意识到在实际应用中只需半弦长度|BD|即可。需要考虑对应于弧BC。

ryabhaa 是已知最早的印度数学家，也是《阿耶波多文集》 的作者。由于他对科学的巨大贡献，1976年，印度将其第一颗人造卫星命名为“Aryabhaa”。

在三角学中，ryabhaa 将圆周分为360*60=21600 等份。根据圆周21600=2R，R3438（这种处理方法可以看作“弧度系”的雏形）。据此，当=345时，|BD|的值为225。用符号表示为：jya(345)=225。

因为sin=jya/3438，取R3438。 |BD|这里类似于中学课本上角度的“正弦线”，来自“弦长|BC|”到“半弦长|BD|”，ryabhaa距离现代意义上的“正弦”概念只有一步之遥，而这一步属于10世纪阿拉伯数学家Abu a1-Wafa'（940-998）。

Wafa对“正弦表”进行了深刻的改进。在ryabhaa的“半弦”基础上，Wafa不再使用“半弦”来制作桌子，而是使用“半弦”与半径|BD|的比例。 /|BO|，这就是现代意义上的的“正弦值”。除了理念上的提升，wafa得到的“正弦值”的准确度也着实让人刮目相看。以sin30'为例，wafa以60为底计算出来的值为31； 24； 55; 54； 55，转换为十进制后为0.008726536673 。这与sin30 的精确值有9 位小数不同。

不过，Wafa的“正弦表”仍然以“圆”为基础，这里的角度仍然指的是圆弧。至此，“正弦函数”已经基本成型，但它仍然存在于“天文学”著作中。数学家的下一步就是让“正弦表”更加精确，让“正弦函数”所代表的“正弦函数”更加精确。三角学”从“天文学”中解放出来。

13世纪，阿拉伯数学家纳西尔·阿丁（Nasir ad-Din，1201-1274）写了两部数学著作—— 《横截线原理》和《论四边形》。虽然内容很普通，但仍然值得记住，因为他们最早将“三角学”作为一个独立的学科来讨论，将“三角学”与“天文学”区分开来。此后，三角学在韦达等著名数学家的大力推动下取得了空前的发展，包括大量三角函数公式的发现和证明，以及17世纪后的“多重发展”和三角函数概念的出现。 20世纪。为了统一，这里有一些重要的节点。

（1）16世纪之前，“正弦函数”是在“圆”内讨论的。哥白尼的门徒—— 奥地利数学家雷蒂库斯(1514-1574) 《三角学准则》 改变了这一点。一个图案，正弦函数的定义直接基于“直角三角形”，即sin=对边/斜边。这是我们中学时学过的定义。但遗憾的是，17、18世纪的数学家并没有注意到他的定义，继续用“圆”内的线段来表示“正弦”。

（2）18世纪，英国著名数学家威尔逊将角从锐角推广到钝角，T.辛普森开始考虑钝角对应的三角函数的正反问题。

（3）18世纪，欧拉在《无穷小分析引论》中首次使用单位圆定义“正弦函数”

（4）19世纪，“正弦函数”的定义变得多样化，角度扩展到任意角度。到了20世纪，基于直角坐标的“终端边缘定义法”在各种定义中脱颖而出，“几何线段”的定义被废弃。正因为如此，数学家们开始更加关注“正弦函数”的形象和本质。

附录【1】。《古今数学思想1》（M.克莱因）。上海科学技术出版社. 2009年