探索切割线定理的五种变形及其广泛应用

大家好，今天来为大家分享探索切割线定理的五种变形及其广泛应用的一些知识点，和的问题解析，大家要是都明白，那么可以忽略，如果不太清楚的话可以看看本篇文章，相信很大概率可以解决您的问题，接下来我们就一起来看看吧！

证明PE·AC=CE·KB，证明PE/KB=CE/AC，

由平行可知，PE/KP=CE/AC，

因此，我们只需证明KP=KB，这从割线定理显而易见，从而得到证明。

证明：由切线和平行线

故PEKAPK，

那么PK^2=KE*KA，

由切割线定理，我们得到

BK^2=KE*KA，因此PK=BK，

从并行获得

即，PE·ACCE·KB。

注：这个问题很简单。这种配置以前已经见过并使用过很多次了。希望初学者能够掌握。

例17.如图所示，已知EF和CD为两圆的外切线，EF与CD相交于O，两圆相交于A、B。

证明：OA是ACD的外接圆的切线；

思路解析：证明OA是ACD的外接圆的切线，

也就是说，OAC=ODA。

条件中，O是两个祖父的切线的交点，不太好用。

将O 视为两个圆的中心。

因此，若将OA 延长至满足大圆I，则

AI是类似的对应点，

因此OAC=OID=ODA。

证明：扩大OA使得大圆等于I，

显然O是两个圆的近似圆心，

C、D、A、I 是对应点，则

即OA为ACD的外接圆的切线；

注：这道题比较简单，但是非常经典和重要，从位置相似度的角度来看就很明显了。当然，这个问题也可以不用类比直接证明。

例18 已知：如上图所示，圆O和O'相交于P和Q，PA和PB与圆O和O'相切，A和B分别在圆O和O'上，PQ相交 ABC 并外接圆R。

验证：PQ=QR（2016年高中数学联赛陕西省预赛题）

思路分析：以PAB圆心T为合理。

两个相交的圆必须连接一条公共弦和一条连接它们中心的线。

如果要证明PQ=QR，则需要证明TQPQ，

即证明TQ//OO'。

从切线来看，OPO'T 是一个平行四边形，

那么OO'就是中线，从而得到证明。

证明：设PAB的外接圆圆心为T，

然后TOPA。

从切线我们得到O'PPA，

然后OT//O'P。

同样的事情O'T//OP，

因此，OPO'T 是一个平行四边形，

那么N是PT的中点，

M 是PQ 的中点，

然后MN//TQ，

因此TQPQ，

那么PQ=QR。

注：这道题并不难，证明方法也有很多，但上面的证明方法基本上是最简单的。

例19，如图所示，若AP、AQ与圆O相切，则过A的圆的割线ACD与PQ相交于B点。

验证：BD/BC=AD/AC；

证明：如上图所示，根据切割线定理

AP/AD=PC/DP，AC/AQ=QC/QD，从而得到

即结果成立。

注：我们之前多次提到过，一般来说，A、B；满足上述表达式的C、D称为和谐点序列，它们的表达式有多种变化形式。 PDQC被称为调和四边形，读者可以参考[5]。当然，证明这个问题的方法有很多种。上述方法是通过计算得到的。也可以将CD设为中点，通过相似度求得。有兴趣的读者可以自行探索。当然，如果从极线的角度来看，这道题就相当于证明圆O经过A点的动弦满足A、B； C、D为调和点序列。 B点的轨迹在A的极线上。这是极线的定义。当然，这个结论对于所有圆锥曲线都成立。

例20 如上图所示，过圆O外一点P作割线PAB和PCD，AD与BC、AC与BD分别相交于E、F。 P与圆O的切线为PS和PT，其中S和T为切线。观点。

验证：E、F、S、T共线（相当于2002年CMO试题中的表达）

思路分析：由于对称性，我们只需证明E在ST上即可。相当于证明AD、BC、ST三条线在同一点。最自然的想法是消失点法。在ABT中，基于角度元Ceva定理，我们只需证明六个角度的正弦值之间的相等性即可。从正弦定理到证明六条线段的乘积相等，这与上题类似也不难证明。

注：1）这个结论也是对极线的另一种定义，即穿过P的两条割线PAB、PCD、ABCD的对角线交点的连线就是P到圆O的对极线这当然适用于所有圆锥曲线。需要注意的是，如果这个结论不采用几何方法，而是直接采用解析方法计算，计算量将会巨大，几乎难以完成。不信的读者可以挑战一下^_^。

2）上述证明是利用Ceva定理计算的，与上述证明完全相同。当然，由上述证明得到的结论是，六边形内切圆的对角线相交于一点的充要条件是相交线段的乘积相等。它是塞瓦定理的推论，也是证明圆内接六边形的对角线相交于一点的重要方法。

3）我们在文章[1]中提到了绘图时不使用直尺而仅使用圆规的问题。类似的问题是只用尺子而不用圆规绘图的问题。最经典的问题之一是给定线段AB//CD找到AB的中点。其实只要利用[1]中的斯坦纳定理，直接连接即可，如下图。

另一个比较难的标尺绘制问题是：只要用标尺穿过圆外的一点P来画圆的切线（不给出圆心，实际上即使给出了圆心也是没有用的）已给出）

方法其实就是这道题证明的结论。通过P任意画割线PAB和PCD。AD与CB相交，AC与BD相交于E和F。

如果EF 在S 和T 处与圆相交，则PS 和PT 是圆的切线。证明如上。并且该方法适用于所有二次曲线。对制图感兴趣的读者可以参考[10]。

通过5篇文章和20个例子，我们展示了切割线定理及其推论在许多几何问题中的应用。我们发现，这个结论和配置虽然很简单，但却至关重要，是解决很多难题的突破口和关键。观点；这也告诉我们一个简单的道理：最简单的往往是最重要的，关键是要合理熟练地运用！希望读者在以后的学习和生活中慢慢体会它的真谛！另一方面，我们需要从经典中积累更多简单的结论，以便在合适的时候使用。正如《老子》中所说：九尺台起于疲土；拥抱之树，从最小的谷粒诞生；千里之行始于足下。

OK，关于探索切割线定理的五种变形及其广泛应用和的内容到此结束了，希望对大家有所帮助。