大家好，今天给各位分享数学新思想系列（十二）如何深入理解加法、乘法和数学空间的一些知识，其中也会对进行解释，文章篇幅可能偏长，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在就马上开始吧！

在抽象代数中，加法的定义是一种封闭于集合元素且满足结合律的二元关系的映射。虽然这里没有提到“顺序”，但从加法定义Q2Q2=Q可以看出，任意两个元素之间的关系都可以分解为两个中间关系的复合（闭包）。如果我们继续分解，如果我们继续分解到最后，我们总是可以将所有的关系分解成一个基本的顺序。因此，即使在抽象代数中，加法实际上也是顺序运算形式的表达，加法和顺序是同一个东西。另请注意，加法结合律保证了该顺序的一致性，这就是为什么抽象代数中加法的定义需要结合律。

乘法的意义

要理解乘法，首先看抽象代数的定义： 乘法是满足加法分布率的二元运算，即能保持加法阶结构的运算。其次，我们不应该只关注具体乘法运算的值，也不应该局限于同一集合内的自映射，而应该宏观地从两个独立集合相乘生成的整个乘法表来看。元素。从乘法表可以看出，乘法表是两个独立序列展开运算生成的新的序列结构，并且它仍然保持了原来的序列。因此，乘法虽然在抽象代数中被定义为满足加法分配比例的运算，但乘法的真正含义是在高层次上保持原有顺序的展开运算，而且仍然是关于顺序的运算。

这种对乘法的解释有助于我们跳出具体的数值去结构性地理解抽象物理量的深刻含义，因为抽象物理量通常是通过可测量的物理量的乘法来构造的，而乘法代表了一定的整体秩序结构。物理方程揭示了各种整体结构之间的不变关系。例如，T=mv/2 应该理解为质量乘以速度的平方，形成新的有物理意义（守恒）的整体结构。这种结构称为动能T。这个抽象物理量是能量的表现形式。又如不确定性原理xph/2。这里的xp是一个乘法结构，具有深刻的物理意义。

如何理解数学空间的概念？

一旦理解了加法和乘法，数学空间的概念就自然而然地出现了。一维序就是一维空间，就是加法空间；二维阶是乘法表，也就是乘法空间；多维空间是通过多个独立阶相乘展开的多维乘法表。例如，向量空间是由几个独立的有序序列相乘构建的空间R；线性向量空间实际上是实数序列与向量序列相乘构造的空间RR。请记住，数学空间实际上只是一个乘法表。

最后，我们探讨序(order)是如何起源(emerge)的

自然数的定义是集合的子集包含关系，0={}, 1={0}, 2={0,1}, 012。这个命令自然而然就产生了。

然而，给定一个抽象集合，如何定义顺序呢？答案是，只要抽象集合中存在某种一般的二元关系，由于这些关系对于集合元素是封闭的，所以对于任何关系Q 都必定存在Q=Q 三角关系Q2（毕达哥拉斯关系的普遍形式） ）其实就是加法运算，也就是说这些关系Q构成了一个顺序。

因此，如果一个抽象集合中存在通用的二元关系，那么这些关系中必然存在一个顺序结构。这是一个具有哲学意义的结论。圈量子引力论试图通过抽象关系来构建宇宙的时空结构。